Vyučovacia hodina · Matematika 5

Diferenciálny počet — Derivácia funkcie jednej reálnej premennej

Derivácia · Pravidlá · Súčin a podiel · Zložená funkcia · P.MC
⏱ 120 min 📋 Tabuľka derivácií 📐 15 príkladov 📝 Test 10 otázok 🎓 Klasifikácia A–FX

Plán vyučovacej hodiny

1
Úvod — čo je derivácia a prečo ju potrebujeme
10 min
⌄
  • Diferenciálny počet — oblasť matematickej analýzy zaoberajúca sa zmenami funkcií
  • Derivácia ako miera rýchlosti zmeny funkcie v bode
  • Geometrický význam: smernica dotyčnice ku grafu funkcie
  • Fyzikálny význam: okamžitá rýchlosť pohybu telesa
  • Definícia cez limitu: f'(x₀) = lim [f(x₀+h)−f(x₀)] / h, h→0
2
Hlavné pravidlá derivovania
20 min
⌄
  • Linearita: (af + bg)' = af' + bg'
  • Derivácia mocniny (polynómu): (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
  • Derivácia konštanty: (c)' = 0
  • Derivácia exponenciálnej, logaritmickej a goniometrických funkcií
3
Derivácia súčinu a podielu
20 min
⌄
  • Pravidlo pre súčin: (f·g)' = f'·g + f·g'
  • Pravidlo pre podiel: (f/g)' = (f'·g − f·g') / g²
  • Typické príklady s polynómami a goniometrickými funkciami
4
Derivácia zloženej funkcie (reťazové pravidlo)
15 min
⌄
  • Reťazové pravidlo: [f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x)
  • Exponenciálna funkcia so zloženým exponentom
  • Logaritmická funkcia so zloženým argumentom
  • Goniometrické funkcie zloženého argumentu
  • Mocnina goniometrickej funkcie — (sinx)ⁿ, (cosx)ⁿ
5
Príklady — precvičovanie
30 min
⌄
  • 15 príkladov pokrývajúcich všetky typy derivácií
  • Postup: zadanie → kroky → výsledná derivácia
  • Príklady priamo z prezentácie (snímky 4 – 37)
6
Záverečný test
25 min
⌄
  • 5 výrokov: Pravda / Nepravda
  • 5 otázok s výberom zo 4 možností
  • Automatické vyhodnotenie, klasifikácia A–FX
ZnámkaPercentoSlovné hodnotenie
A90 – 100 %Výborne
B80 – 89 %Veľmi dobre
C70 – 79 %Dobre
D60 – 69 %Uspokojivo
E50 – 59 %Dostatočne
FX0 – 49 %Nedostatočne

1. Čo je diferenciálny počet?

Diferenciálny počet Časť matematickej analýzy, ktorá sa zaoberá zmenami funkcií. Ústredným pojmom je derivácia — nástroj, ktorý hovorí, ako rýchlo sa funkcia mení v určitom bode.

Základné pojmy

PojemVysvetlenie
Funkcia jednej reálnej premennejf : ℝ → ℝ, y = f(x), napr. f(x) = x²
Derivácia funkcie v bode x₀f'(x₀) = limh→0 [f(x₀+h) − f(x₀)] / h
Tento limit vyjadrujeOkamžitú rýchlosť zmeny funkcie v bode x₀
Geometrický významDerivácia je smernica dotyčnice ku grafu funkcie v bode
Fyzikálny významAk f(t) opisuje polohu telesa v čase, potom f'(t) je rýchlosť

2. Zápis derivácie

Leibnizov zápis: dy/dx alebo df/dx Lagrangeov zápis: f'(x) alebo y' Newtonov zápis: ẏ (používa sa vo fyzike) Príklad: ak f(x) = x², potom f'(x) = 2x

3. Tabuľka základných derivácií

Funkcia f(x)Derivácia f'(x)Poznámka
c0Konštanta
xⁿn · xⁿ⁻¹Mocninná funkcia
√x = x^(1/2)1 / (2√x)Odmocnina
1/x = x⁻¹−1/x²Prevrátenina
eˣeˣExponenciálna
aˣaˣ · ln(a)Exponenciálna so základom a
ln(x)1/xPrirodzený logaritmus
log_a(x)1 / (x · ln(a))Logaritmus so základom a
sin(x)cos(x)Sínus
cos(x)−sin(x)Kosínus
tan(x)1/cos²(x)Tangens
cot(x)−1/sin²(x)Kotangens
⚠ Tieto vzorce je nutné dobre ovládať naspamäť — sú základom všetkých výpočtov derivácií.

Hlavné pravidlá derivovania

📏 Linearita — súčet
(af + bg)' = af' + bg'
Derivácia súčtu je súčet derivácií. Konštantný koeficient zostáva.
📏 Odčítanie
(f − g)' = f' − g'
Derivácia rozdielu je rozdiel derivácií.
🔢 Mocnina — kľúčový vzorec
(xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹
Exponent spadne dolu ako koeficient, exponent sa zníži o 1.
🔇 Konštanta
(c)' = 0
Derivácia konštanty je vždy nula — konštanta sa nemení.

Derivácia polynómu — postup

Vzorec pre polynóm (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹  ·  Každý člen derivujeme samostatne. Koeficienty prenášame. Konštantný člen zmizne (derivácia je 0).
1
Rozdeľ polynóm na jednotlivé členy
2
Aplikuj pravidlo pre mocninu na každý člen: (axⁿ)' = a·n·xⁿ⁻¹
3
Zapamätaj: exponent „spadne" dolu ako koeficient, exponent sa zníži o 1
4
Konštantný člen (c)' = 0 — odpadáva

Ilustračný príklad — snímka 4

f(x) = x⁵ − 7x² + 3x − 5 Krok po kroku: (x⁵)' = 5x⁴ (−7x²)' = −14x (3x)' = 3 (−5)' = 0 Výsledok: f'(x) = 5x⁴ − 14x + 3

Ďalšie príklady derivácií polynómov

h(x) = −2x⁵ + 4x³ − x + 7 → h'(x) = −10x⁴ + 12x² − 1 k(x) = 5x⁴ − 3x³ + 2x² − 4x + 9 → k'(x) = 20x³ − 9x² + 4x − 4 s(x) = −4x⁴ + 6x³ − x² + 8x − 2 → s'(x) = −16x³ + 18x² − 2x + 8 t(x) = 7x³ − 2x² + 5x − 11 → t'(x) = 21x² − 4x + 5 m(x) = 2x⁶ − 5x⁴ + 7x² − 3 → m'(x) = 12x⁵ − 20x³ + 14x n(x) = 3x⁵ − 4x³ + 6x − 2 → n'(x) = 15x⁴ − 12x² + 6 r(x) = −4x⁷ + 3x⁵ − 8x³ + 6x − 9 → r'(x) = −28x⁶ + 15x⁵ − 24x² + 6

Derivácia exponenciálnej a logaritmickej funkcie

Exponenciálna: (aˣ)' = aˣ · ln(a) Príklad — snímka 17: f(x) = 4⁵ˣ Krok 1: Základný vzorec (aˣ)' = aˣ · ln(a) Krok 2: Derivácia exponenta (5x)' = 5 → reťazové pravidlo f'(x) = 5 · 4⁵ˣ · ln(4) Príklad — snímka 18: g(x) = 2⁻³ˣ g'(x) = −3 · 2⁻³ˣ · ln(2)
Logaritmická: (ln x)' = 1/x (ln u(x))' = u'(x) / u(x) ← reťazové pravidlo Príklad — snímka 20: p(x) = ln(5x² + 3) u(x) = 5x² + 3, u'(x) = 10x p'(x) = 10x / (5x² + 3)

Derivácia goniometrických funkcií

Základné vzorce: (sin x)' = cos x (cos x)' = −sin x Príklad — snímka 21: r(x) = 5sin(2x) − 3cos(x) r'(x) = 5·cos(2x)·2 − 3·(−sin(x)) = 10cos(2x) + 3sin(x) Príklad — snímka 29: f(x) = 4cos(3x) + 2sin(x) f'(x) = −12sin(3x) + 2cos(x) Príklad — snímka 30: g(x) = 6sin(4x) − 5cos(2x) g'(x) = 24cos(4x) + 10sin(2x)

Cvičenia — derivácia polynómov

Zderivujte nasledujúce funkcie (precvič samostatne pred odkrytím riešenia v záložke Príklady):

f(x) = 2x⁴ + 5x³ − 8x + 10
f(x) = 3x⁵ − 2x⁴ + 6x − 1
f(x) = x⁶ − 4x³ + 9x − 2
f(x) = −x⁴ + 3x² − 7
f(x) = 5x³ − 2x + 8
f(x) = x⁷ − 3x⁵ + 2x³ − x
💡 Postup: každý člen derivuj zvlášť pravidlom (axⁿ)' = a·n·xⁿ⁻¹. Konštantný člen odpadáva.

Derivácia súčinu funkcií

Pravidlo pre deriváciu súčinu (f · g)' = f' · g + f · g'
Obidve funkcie sa striedajú v derivovaní — raz derivujeme prvú, raz druhú.
1
Označ si časti: f(x) = … a g(x) = …
2
Derivuj každý člen zvlášť: f'(x) a g'(x)
3
Dosaď do pravidla: f'·g + f·g'
4
Zjednodušši výsledok (roznásob, uprav)

Príklady derivácie súčinu

Príklad — snímka 22 (f = polynóm · cos): f(x) = (x² − x + 1) · cos(x) f = x² − x + 1, f' = 2x − 1 g = cos(x), g' = −sin(x) f'(x) = (2x−1)·cos(x) + (x²−x+1)·(−sin(x)) = (2x−1)cos(x) − (x²−x+1)sin(x) Príklad — snímka 23: g(x) = (x² + 2x − 5) · sin(x) g' = 2x + 2, sin'(x) = cos(x) g'(x) = (2x+2)sin(x) + (x²+2x−5)cos(x) Príklad — snímka 24: f(x) = (x² − 2x + 4) · sin(x) f'(x) = (2x−2)sin(x) + (x²−2x+4)cos(x) Príklad — snímka 25: h(x) = (x³ − 2x) · sin(2x) f = x³−2x, f' = 3x²−2 g = sin(2x), g' = 2cos(2x) h'(x) = (3x²−2)sin(2x) + (x³−2x)·2cos(2x)

Derivácia podielu funkcií

Pravidlo pre deriváciu podielu (f/g)' = (f'·g − f·g') / g²
Pozor na poradie: čitateľ = f'g − fg', menovateľ = g² (vždy kladný).
⚠ Najčastejšia chyba: zámena poradia v čitateli. Vždy f'·g − f·g', NIE g'·f − g·f'.

Príklady derivácie podielu

Príklad — snímka 26: p(x) = (x² + 1) / sin(x) f = x²+1, f' = 2x g = sin(x), g' = cos(x) p'(x) = [2x·sin(x) − (x²+1)·cos(x)] / sin²(x) Príklad — snímka 27: m(x) = (x³ − 1) / cos(x) f = x³−1, f' = 3x² g = cos(x), g' = −sin(x) m'(x) = [3x²·cos(x) + (x³−1)·sin(x)] / cos²(x) Príklad — snímka 28: q(x) = (x² + 3) / sin(x) q'(x) = [2x·sin(x) − (x²+3)·cos(x)] / sin²(x)

Cvičenia — súčin a podiel

f(x) = (x² + 1) · sin(x)
f(x) = (x³ − 2x) · cos(x)
f(x) = x² / sin(x)
f(x) = (x + 1) / cos(x)
f(x) = (2x − 1) · eˣ
f(x) = ln(x) / x

Derivácia zloženej funkcie — reťazové pravidlo

Reťazové pravidlo (chain rule) Ak h(x) = f(g(x)), potom:
h'(x) = f'(g(x)) · g'(x)
Najprv derivujeme vonkajšiu funkciu (vo vnútri necháme pôvodný výraz), potom násobíme deriváciou vnútornej funkcie.
1
Identifikuj vonkajšiu funkciu f a vnútornú funkciu g(x)
2
Derivuj vonkajšiu funkciu: f'(g(x)) — vnútro zostáva bez zmeny
3
Derivuj vnútornú funkciu: g'(x)
4
Vynásob: výsledok = f'(g(x)) · g'(x)

Exponenciálna funkcia so zloženým exponentom

Vzorec: (a^u(x))' = a^u(x) · ln(a) · u'(x) Príklad — snímka 17: f(x) = 4⁵ˣ u(x) = 5x, u'(x) = 5 f'(x) = 5 · 4⁵ˣ · ln(4) Príklad — snímka 18: g(x) = 2⁻³ˣ u(x) = −3x, u'(x) = −3 g'(x) = −3 · 2⁻³ˣ · ln(2) Príklad — snímka 13b (zložená: odmocnina + log): f(x) = √x² · 5ˣ − ln(x) (každý člen derivujeme: reťazové pravidlo + tabuľka)

Logaritmická funkcia zloženého argumentu

Vzorec: (ln u(x))' = u'(x) / u(x) Príklad — snímka 20: p(x) = ln(5x² + 3) u(x) = 5x²+3, u'(x) = 10x p'(x) = 10x / (5x² + 3)

Goniometrické funkcie zloženého argumentu

Vzorce: (sin u)' = cos(u) · u' (cos u)' = −sin(u) · u' Príklad — snímka 29: f(x) = 4cos(3x) + 2sin(x) f'(x) = 4·(−sin(3x))·3 + 2·cos(x) = −12sin(3x) + 2cos(x) Príklad — snímka 31: h(x) = 3cos(5x) − 7sin(2x) h'(x) = 3·(−sin(5x))·5 − 7·cos(2x)·2 = −15sin(5x) − 14cos(2x) Príklad — snímka 32: j(x) = 8sin(3x) + 4cos(5x) j'(x) = 8·cos(3x)·3 + 4·(−sin(5x))·5 = 24cos(3x) − 20sin(5x)

Mocnina goniometrickej funkcie — (sin x)ⁿ, (cos x)ⁿ

Princíp: Kombinuje reťazové pravidlo + deriváciu mocniny.
((sin x)ⁿ)' = n · (sin x)ⁿ⁻¹ · cos x
((cos x)ⁿ)' = n · (cos x)ⁿ⁻¹ · (−sin x)
Príklad — snímka 33: f(x) = 3(sin z)² − 2(cos z)² f'(z) = 3·2sin(z)·cos(z) − 2·2cos(z)·(−sin(z)) = 6sin(z)cos(z) + 4cos(z)sin(z) = 10sin(z)cos(z) Príklad — snímka 34: f(x) = 2(sin x)² + 5(cos x)³ f'(x) = 2·2sin(x)·cos(x) + 5·3(cos x)²·(−sin x) = 4sin(x)cos(x) − 15cos²(x)sin(x) Príklad — snímka 35: f(x) = 4(sin x)² − 6(cos x)³ f'(x) = 8sin(x)cos(x) + 18cos²(x)sin(x) Príklad — snímka 36: u(x) = 2(sin x)⁴ + 3(cos x)² u'(x) = 8(sin x)³·cos(x) − 6cos(x)·sin(x) Príklad — snímka 37: v(x) = 5(sin x)² − 4(cos x)⁴ v'(x) = 10sin(x)cos(x) + 16(cos x)³·sin(x)
✓ Zhrnutie reťazového pravidla: vonkajšia funkcia → znížiš exponent → vnútro necháš → násobíš deriváciou vnútra.

15 príkladov zo všetkých typov derivácií. Pokús sa riešiť sám/sama, potom odkry krok po kroku riešenie.

📝 10 otázok ⏱ 25 minút ✅ 5× Pravda / Nepravda 🔘 5× výber zo 4 možností
0 / 10 zodpovedaných