Matematika 4 — Graf funkcie a vlastnosti funkcie

Plán vyučovacej hodiny

1

Definícia funkcie a jej graf

10 min

⌄

Definícia funkcie: každému x ∈ D(f) prislúcha práve jedno y
Karteziánsky súradnicový systém — zakreslenie grafu
Zvislá čiarová skúška (VLT)
Definičný obor D(f) a obor hodnôt H(f)

2

Podmienky definičného oboru

15 min

⌄

Podmienka menovateľa: menovateľ ≠ 0
Podmienka odmocniny: výraz pod √ ≥ 0
Podmienka logaritmu: argument log > 0
Zložené podmienky — kombinácia viacerých obmedzení

3

Lineárna funkcia — graf a vlastnosti

20 min

⌄

Predpis: y = ax + b, kde a ≠ 0
Smernica a (sklon priamky) a absolútny člen b (prienik s os. y)
Rastúca (a > 0), klesajúca (a < 0), konštantná (a = 0)
Nulový bod: x = −b/a
Grafy príkladov: y = 4x − 1, y = −2x − 2, y = 3x

4

Kvadratická funkcia — parabola, diskriminant

20 min

⌄

Predpis: y = ax² + bx + c, kde a ≠ 0
Vrchol paraboly a os súmernosti
Vlastnosti podľa znamienka a: a > 0 (konvexná), a < 0 (konkávna)
Diskriminant D = b² − 4ac a počet núl
Základné vlastnosti čítateľné z grafu

5

Vlastnosti funkcie čítateľné z grafu

15 min

⌄

Monotónnosť: rastúce a klesajúce intervaly
Lokálne extrémy: maximum a minimum
Párnosť a nepárnosť — symetria grafu
Ohraničenosť zhora / zdola, periodicita

6

Príklady — samostatná práca

15 min

⌄

15 príkladov: D(f), vlastnosti grafov, lineárna a kvadratická funkcia
Interaktívny prieskumník grafov (záložka Grafy)
Overovanie na Desmos: https://www.desmos.com/calculator

7

Záverečný test

25 min

⌄

5 výrokov: Pravda / Nepravda
5 otázok s výberom zo 4 možností
Automatické vyhodnotenie, klasifikácia A–FX

Známka	Percento	Slovné hodnotenie
A	90 – 100 %	Výborne
B	80 – 89 %	Veľmi dobre
C	70 – 79 %	Dobre
D	60 – 69 %	Uspokojivo
E	50 – 59 %	Dostatočne
FX	0 – 49 %	Nedostatočne

1. Definícia funkcie

Funkcia f: A → B Funkcia je zobrazenie, ktoré každému prvku x z definičného oboru D(f) priradí práve jednu hodnotu y = f(x) z oboru hodnôt H(f). Zápis ako množina: {(x, y) ∈ ℝ × ℝ ; y = f(x)}.

⚠ Zvislá čiarová skúška (VLT): ak ľubovoľná zvislá priamka pretína krivku vo viac ako jednom bode, krivka nie je grafom funkcie.

Pojem	Symbol	Čo znamená / Ako čítame z grafu
Definičný obor	D(f)	Projekcia grafu na os x — kde je graf nakreslený
Obor hodnôt	H(f)	Projekcia grafu na os y — aké y dosahuje
Nulový bod	x₀	Kde graf pretína os x (y = 0)
Hodnota f(0)	f(0)	Kde graf pretína os y (x = 0)
Lokálne maximum	f(x*)	Vrchol — graf rastie, potom klesá
Lokálne minimum	f(x*)	Dolina — graf klesá, potom rastie

2. Vlastnosti funkcie čítateľné z grafu

Monotónnosť

🔺 Rastúca na (a, b)

Pre x₁ < x₂ platí f(x₁) < f(x₂)
Graf stúpa zľava doprava
Príklady: f(x) = x, f(x) = eˣ

🔻 Klesajúca na (a, b)

Pre x₁ < x₂ platí f(x₁) > f(x₂)
Graf klesá zľava doprava
Príklady: f(x) = −x, f(x) = 1/x (x>0)

📈 Rastúca funkcia — a > 0

📉 Klesajúca funkcia — a < 0

Lokálne extrémy — maximum a minimum

Graf kvadratickej funkcie ukazuje minimum (∪) alebo maximum (∩) vo vrchole paraboly:

Minimum — a > 0 (∪)

Maximum — a < 0 (∩)

Párnosť a nepárnosť

🔁 Párna funkcia

Podmienka: f(−x) = f(x)
Symetria podľa osi y (zrkadlo)
Príklady: x², cos x, |x|

🔄 Nepárna funkcia

Podmienka: f(−x) = −f(x)
Symetria podľa počiatku (180°)
Príklady: x³, sin x, x

Ohraničenosť a periodicita

Ohraničená funkcia: existuje M > 0 také, že |f(x)| ≤ M pre každé x ∈ D(f). Na grafe: hodnoty nikdy neprekročia pásmo ⟨−M, M⟩.

Periodická funkcia: existuje T > 0 také, že f(x + T) = f(x). Vzor grafu sa opakuje každých T jednotiek. Príklady: sin x, cos x (T = 2π).

3. Prehľad — čo možno čítať z grafu

Vlastnosť	Ako ju vidíme na grafe
D(f)	Projekcia grafu na os x
H(f)	Projekcia grafu na os y
Nulové body	Priesečníky s osou x
f(0)	Priesečník s osou y
Rastúce intervaly	Úseky, kde graf stúpa
Klesajúce intervaly	Úseky, kde graf klesá
Lokálne maximum	Vrchol — vyššie ako okolie
Lokálne minimum	Dolina — nižšie ako okolie
Párna funkcia	Zrkadlová symetria podľa osi y
Nepárna funkcia	Stredová symetria podľa počiatku O
Ohraničená zhora	Graf neprekročí horizontálnu hranicu
Periodická	Vzor grafu sa pravidelne opakuje

Definičný obor funkcie — podmienky

Čo je definičný obor D(f)? Množina všetkých hodnôt x, pre ktoré je funkcia definovaná (dáva zmysel). Pre väčšinu polynomických funkcií je D(f) = ℝ. Obmedzenia nastávajú pri zlomkoch, odmocninách a logaritmoch.

Tri základné podmienky

➗

Zlomok (menovateľ)

menovateľ ≠ 0

Delenie nulou nie je definované. Vylúčime hodnoty x, kde menovateľ = 0.

√

Odmocnina

výraz pod √ ≥ 0

Odmocnina z záporného čísla nie je reálna. Výraz pod odmocninou musí byť nezáporný.

log

Logaritmus

argument log > 0

Logaritmus je definovaný len pre kladné čísla. Výraz v log musí byť striktne kladný.

Postup určenia D(f)

1. Identifikuj všetky obmedzenia (zlomky, √, log) 2. Pre každé obmedzenie zostavíš nerovnicu 3. Vyriešiš nerovnicu(e) 4. D(f) = prienik všetkých riešení

Príklady určenia D(f)

Príklad 1 — zlomok

f(x) = 1 / (x − 3) Podmienka: x − 3 ≠ 0 → x ≠ 3 D(f) = ℝ ∖ {3} = (−∞, 3) ∪ (3, +∞)

Príklad 2 — odmocnina

f(x) = √(2x − 4) Podmienka: 2x − 4 ≥ 0 → x ≥ 2 D(f) = ⟨2, +∞)

Príklad 3 — odmocnina v zlomku (kombinovaná)

f(x) = √(x + 1) / (x − 2) Podmienka 1 (√): x + 1 ≥ 0 → x ≥ −1 Podmienka 2 (men.): x − 2 ≠ 0 → x ≠ 2 D(f) = ⟨−1, +∞) ∖ {2} = ⟨−1, 2) ∪ (2, +∞)

Príklad 4 — logaritmus

f(x) = log(x − 1) Podmienka: x − 1 > 0 → x > 1 D(f) = (1, +∞)

Príklad 5 — zložené podmienky (odmocnina + zlomok + log)

f(x) = √(x + 4) / log(x) Podmienka 1 (√): x + 4 ≥ 0 → x ≥ −4 Podmienka 2 (log): x > 0 Podmienka 3 (log ≠ 0): log(x) ≠ 0 → x ≠ 1 D(f) = (0, 1) ∪ (1, +∞)

⚠ Pri zložených funkciách vždy píš a kombinuj VŠETKY podmienky naraz. Neuvádzaj prienik čiastkovo — ľahko vynecháš obmedzenie.

Cvičenia na D(f) — vyskúšaj sám/sama

Lineárna funkcia

Definícia Lineárna funkcia je každá funkcia tvaru y = ax + b, kde a, b ∈ ℝ a a ≠ 0. Grafom je priamka. Ak a = 0, funkcia y = b je konštantná.

Parametre a ich význam

Parameter	Názov	Čo určuje	Príklad
a	Smernica (slope)	Sklon priamky; smer rastu/klesania	a = 2 → strmý nárast
b	Absolútny člen	Priesečník s osou y (f(0) = b)	b = −1 → pretína y v −1
x₀ = −b/a	Nulový bod	Priesečník s osou x	x₀ = 1/4 pre y = 4x−1

a > 0 — Rastúca priamka

Graf stúpa zľava doprava
Čím väčšie |a|, tým strmšia
D(f) = ℝ, H(f) = ℝ
Príklad: y = 3x, y = 4x − 1

a < 0 — Klesajúca priamka

Graf klesá zľava doprava
Funkcia je klesajúca na celom ℝ
D(f) = ℝ, H(f) = ℝ
Príklad: y = −2x − 2

Grafy lineárnych funkcií

Tri príklady lineárnych funkcií y = 4x−1 | y = −2x−2 | y = 3x

y = 4x − 1 (a=4, b=−1)

y = −2x − 2 (a=−2, b=−2)

y = 3x (a=3, b=0)

Vlastnosti lineárnej funkcie

Vlastnosť	Hodnota / Popis
Definičný obor D(f)	ℝ — pre všetky x
Obor hodnôt H(f)	ℝ — dosahuje všetky y
Monotónnosť	Rastúca (a>0) alebo klesajúca (a<0) na celom ℝ
Nulový bod	x₀ = −b/a
Párnosť	Ani párna ani nepárna (ak b ≠ 0); nepárna ak b = 0
Ohraničenosť	Neohraničená zhora aj zdola
Prostá funkcia	Áno — každé y má práve jedno x

Lineárna rovnica — vzorec

ax + b = 0 x = −b / a (podmienka: a ≠ 0) Príklad: 3x − 6 = 0 → x = 6/3 = 2

✓ Nulový bod lineárnej funkcie y = ax + b je zároveň riešením lineárnej rovnice ax + b = 0.

Kvadratická funkcia

Definícia Kvadratická funkcia je každá funkcia tvaru y = ax² + bx + c, kde a, b, c ∈ ℝ a a ≠ 0. Grafom je krivka — parabola. Matematický zápis ako množina: {(x, y) ∈ ℝ × ℝ; y = ax² + bx + c}.

Kvadratický trojčlen — časti

y = a·x² + b·x + c ↑ ↑ ↑ kvadratický lineárny absolútny člen člen člen

Vrchol paraboly a os súmernosti

Vrchol V = [x_v, y_v]: x_v = −b / (2a) y_v = f(x_v) = c − b² / (4a) Os súmernosti: x = x_v (zvislá priamka prechádzajúca vrcholom)

Vplyv parametra a

a > 0 — Konvexná parabola (∪)

Ramená smerujú nahor
Vrchol = lokálne minimum
H(f) = ⟨y_v, +∞)
Ohraničená zdola
Klesajúca na (−∞, x_v), rastúca na (x_v, +∞)

a < 0 — Konkávna parabola (∩)

Ramená smerujú nadol
Vrchol = lokálne maximum
H(f) = (−∞, y_v⟩
Ohraničená zhora
Rastúca na (−∞, x_v), klesajúca na (x_v, +∞)

Diskriminant a nulové body

Kvadratická rovnica: ax² + bx + c = 0 Diskriminant: D = b² − 4ac Korene: x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a)

D > 0

2 rôzne reálne korene
Graf pretína os x dvakrát

D = 0

1 dvojnásobný koreň
Graf sa dotýka osi x

D < 0

Žiadne reálne korene
Graf neprotína os x

Grafy kvadratickej funkcie

a > 0: konvexná parabola | a < 0: konkávna parabola

y = x² − 4 (a=1, min v [0,−4])

y = −x² + 6x − 8 (a=−1, max v [3,1])

y = 2x² (a=2, strmšia)

Úplný prehľad vlastností kvadratickej funkcie

Vlastnosť	a > 0	a < 0
D(f)	ℝ	ℝ
H(f)	⟨y_v, +∞)	(−∞, y_v⟩
Tvar grafu	Konvexná ∪	Konkávna ∩
Extrém	Minimum v x_v	Maximum v x_v
Rastúca	(x_v, +∞)	(−∞, x_v)
Klesajúca	(−∞, x_v)	(x_v, +∞)
Párnosť	Párna, ak b = 0 (vrchol na osi y)
Ohraničenosť	Zdola (min = y_v)	Zhora (max = y_v)
Prostá funkcia	Nie — každé y (okrem y_v) má dve x

Príklad — nájdi vrchol a nulové body

f(x) = −x² + 6x − 8 a = −1, b = 6, c = −8 Vrchol: x_v = −6/(2·(−1)) = 3 y_v = f(3) = −9 + 18 − 8 = 1 → V = [3, 1] Disk.: D = 36 − 4·(−1)·(−8) = 36 − 32 = 4 > 0 → 2 korene x₁ = (−6 + 2)/(−2) = 2 x₂ = (−6 − 2)/(−2) = 4

✓ Graf pretína os x v x = 2 a x = 4, má maximum v [3, 1], ramená smerujú nadol (a < 0).

Cvičenia — kvadratická funkcia

Urč vlastnosti nasledujúcich funkcií (vrchol, D, H, nulové body, monotónnosť):

1. y = 2x² 2. y = 3x² 3. y = −x² 4. y = x² + 2 5. y = x² − 2 6. y = x² + 2x 7. y = x² − 2x 8. y = x² + 2x − 2 9. y = −x² − 2x − 2 10. y = −x² + 3x − 1

💡 Overiť riešenia môžeš na https://www.desmos.com/calculator — zadaj predpis funkcie a sleduj zmeny grafu.

Interaktívne grafy a prieskumník — meň parametre a sleduj vlastnosti priamo v grafe.

🔬 Interaktívny prieskumník funkcií

Typ funkcie

a: 1

b: 0

c: 0

Referenčné grafy so popisom vlastností

Lineárna funkcia Tri priamky s rôznymi smerniciami

y = 4x−1

y = −2x−2

y = 3x

Kvadratická funkcia f(x) = x² − 4 · Párna · Ohraničená zdola

D(f)

ℝ

H(f)

⟨−4, +∞)

Nulové body

x = ±2

Minimum

f(0) = −4

Párnosť

Párna

Ohraničená

Zdola (y ≥ −4)

Kubická funkcia f(x) = x³ − 3x · Nepárna · Neohraničená

D(f)

ℝ

H(f)

ℝ

Lok. max

f(−1) = 2

Lok. min

f(1) = −2

Párnosť

Nepárna

Nulové body

0, ±√3

Sínusová funkcia f(x) = sin(x) · Nepárna · Periodická · Ohraničená

D(f)

ℝ

H(f)

⟨−1, 1⟩

Perióda

T = 2π

Párnosť

Nepárna

Pokús sa riešiť sám/sama, potom odkry riešenie. Na overenie grafov použi záložku Grafy alebo Desmos.

Meno a priezvisko (pre evidenciu testu):

📝 10 otázok⏱ 25 minút ✅ 5× Pravda / Nepravda🔘 5× výber zo 4 možností

0 / 10 zodpovedaných

Graf funkcie a vlastnosti funkcie poznateľné z grafu

Plán vyučovacej hodiny

1. Definícia funkcie

2. Vlastnosti funkcie čítateľné z grafu

Monotónnosť

Lokálne extrémy — maximum a minimum

Párnosť a nepárnosť

Ohraničenosť a periodicita

3. Prehľad — čo možno čítať z grafu

Definičný obor funkcie — podmienky

Tri základné podmienky

Postup určenia D(f)

Príklady určenia D(f)

Príklad 1 — zlomok

Príklad 2 — odmocnina

Príklad 3 — odmocnina v zlomku (kombinovaná)

Príklad 4 — logaritmus

Príklad 5 — zložené podmienky (odmocnina + zlomok + log)

Cvičenia na D(f) — vyskúšaj sám/sama

Lineárna funkcia

Parametre a ich význam

Grafy lineárnych funkcií

Vlastnosti lineárnej funkcie

Lineárna rovnica — vzorec

Kvadratická funkcia

Kvadratický trojčlen — časti

Vrchol paraboly a os súmernosti

Vplyv parametra a

Diskriminant a nulové body

Grafy kvadratickej funkcie

Úplný prehľad vlastností kvadratickej funkcie

Príklad — nájdi vrchol a nulové body

Cvičenia — kvadratická funkcia

Referenčné grafy so popisom vlastností